В. Н. Малозёмов, С. М. Машарский

Основы дискретного гармонического анализа

Предисловие

Дискретный гармонический анализ — это математическая дисциплина, результаты которой активно используются в цифровой обработке сигналов. Плодотворным является и обратное влияние — многочисленные задачи цифровой обработки сигналов стимулируют развитие дискретного гармонического анализа.

Данная книга предназначена для первоначального знакомства с предметом. Она написана на основе курса лекций, который первый автор с 1995 года читает на математико-механическом факультете Санкт-Петербургского государственного университета студентам кафедр информатики и исследования операций. Некоторые вопросы отрабатывались на лекциях в Петрозаводском университете и университете Калабрии (Италия).

Книга состоит из трех глав. В первой главе рассматриваются преобразования сигналов, среди которых центральную роль играют дискретное преобразование Фурье, циклическая свертка и циклическая корреляция. Изучаются свойства этих преобразований. В качестве приложения приводятся решения задач об оптимальной паре сигнал-фильтр и об оптимальной интерполяции.

Вторая глава посвящена быстрым алгоритмам — быстрому преобразованию Фурье, быстрому преобразованию Хаара и быстрому преобразованию Уолша. Для построения быстрых алгоритмов используется оригинальный подход, основанный на введении рекуррентной последовательности ортогональных базисов в пространстве дискретных периодических сигналов. На этом пути удается также сформировать вейвлетные базисы, совокупность которых образует вейвлет-пакет. К вейвлетным базисам относится, в частности, базис Хаара. Ему в книге уделяется большое внимание. В конце второй главы исследуется важный вопрос об упорядочении функций Уолша.

В третьей главе вводятся дискретные периодические сплайны и изучаются их фундаментальные свойства. В терминах сплайнов дается изящное решение задачи о сглаживании дискретных периодических данных. Строится система ортогональных сплайнов. Получено вейвлетное разложение произвольного сплайна.

Характерной особенностью книги является наличие большого количества задач. Они позволяют разгрузить основной текст. В виде задач оформлены специальные или дополнительные факты. Все задачи снабжены решениями. Отдельные задачи или группы задач независимы, поэтому читатель может выбрать те из них, которые покажутся ему интересными. Наиболее эффективный путь — решать задачи и сравнивать свое решение с приведенным в книге. Это позволит активно освоить материал.

В начале книги имеется раздел "Предварительные сведения". В нем кратко изложены факты, необходимые для чтения основного текста. Эти факты хорошо известны и касаются вычетов, перестановок, комплексных чисел и конечных разностей. Раздел "Предварительные сведения" также содержит задачи. В конце книги приводится список цитированной литературы. Выделим в нем книги Р. Блейхута, Дж. Х. Макклеллана и Ч. М. Рейдера, А. М. Трахтмана и В. А. Трахтмана, по которым авторы в свое время осваивали начала дискретного гармонического анализа.